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Análisis Matemático 66
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA
Práctica 5 - Aproximación lineal y derivadas
1.
[Serpentina de Newton] La curva dada por \[y=\frac{4 x}{x^{2}+1}\] es llamada la serpentina de Newton.
a) Halle la ecuación de la recta secante a la serpentina que pasa por $(0,0)$ y $(1,2)$.
a) Halle la ecuación de la recta secante a la serpentina que pasa por $(0,0)$ y $(1,2)$.
Respuesta
¡Arrancamos la guía de Derivadassss! 😀
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Este primer ejercicio es bien introductorio, pero está bueno para seguir entendiendo el concepto de Derivada. En la primer clase de derivadas vimos que la derivada de una función $f$ en un determinado $x=x_0$, no era otra cosa que la pendiente de la recta tangente a $f$ en ese $x_0$. Con este ejercicio vamos a convencernos de eso ;)
En este caso tenemos la curva:
$ y=\frac{4 x}{x^{2}+1} $
y nos piden hallar la ecuación de la recta secante que pasa por los puntos $(0,0)$ y $(1,2)$.
Aclaración: Una recta secante es justamente esto, una recta que corta a una curva. En este caso queremos encontrar la que corta a $f$ en los puntos $(0,0)$ y $(1,2)$
Para encontrar la pendiente de la recta secante, podemos usar la fórmula de la pendiente $m$ de una recta entre dos puntos, que se define como:
$ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $
En este caso, nos dan dos puntos en el enunciado:
- El primer punto es $(0,0)$, donde llamamos $x_1 = 0$ y $y_1 = 0$.
- El segundo punto es $(1,2)$, donde $x_2 = 1$ y $y_2 = 2$.
Vamos a calcular la pendiente $m$ utilizando estos puntos:
$ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 0}{1 - 0} = 2 $
Entonces, la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos $(0,0)$ y $(1,2)$ es 2. Por lo tanto, nuestra recta secante va teniendo esta pinta:
$y = 2x + b$
Para encontrar $b$ podemos usar uno de los puntos por los que pasa nuestra recta, por ejemplo, el $(0,0)$ (como hacíamos en la primera práctica, cuando vimos funciones lineales)
$0 = 2 \cdot 0 + b$
$b = 0$
Por lo tanto, la recta secante que estábamos buscando es...
$ y = 2x $
Te recomiendo que tengas abierto GeoGebra en la otra ventana y vayas graficando todo esto... Acá te dejo igual un print de pantalla de mi gráfico, con la serpentina de Newton (en verde), la recta que encontramos (en azul) y chequeamos que efectivamente corta a la curva en los puntos que nos decían.