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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 5 - Aproximación lineal y derivadas

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1. [Serpentina de Newton] La curva dada por y=4xx2+1y=\frac{4 x}{x^{2}+1} es llamada la serpentina de Newton.
a) Halle la ecuación de la recta secante a la serpentina que pasa por (0,0)(0,0) y (1,2)(1,2).

Respuesta

¡Arrancamos la guía de Derivadassss! 😀 

Este primer ejercicio es bien introductorio, pero está bueno para seguir entendiendo el concepto de Derivada. En la primer clase de derivadas vimos que la derivada de una función ff en un determinado x=x0x=x_0, no era otra cosa que la pendiente de la recta tangente a ff en ese x0x_0. Con este ejercicio vamos a convencernos de eso ;)

En este caso tenemos la curva:

y=4xx2+1 y=\frac{4 x}{x^{2}+1}

y nos piden hallar la ecuación de la recta secante que pasa por los puntos (0,0)(0,0) y (1,2)(1,2).

Aclaración: Una recta secante es justamente esto, una recta que corta a una curva. En este caso queremos encontrar la que corta a ff en los puntos  (0,0)(0,0) y (1,2)(1,2)

Para encontrar la pendiente de la recta secante, podemos usar la fórmula de la pendiente mm de una recta entre dos puntos, que se define como: m=y2−y1x2−x1 m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} En este caso, nos dan dos puntos en el enunciado:
- El primer punto es (0,0)(0,0), donde llamamos x1=0x_1 = 0 y y1=0y_1 = 0.
- El segundo punto es (1,2)(1,2), donde x2=1x_2 = 1 y y2=2y_2 = 2. Vamos a calcular la pendiente mm utilizando estos puntos: m= y2−y1x2−x1= 2−01−0=2 m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 0}{1 - 0} = 2
Entonces, la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos (0,0)(0,0) y (1,2)(1,2) es 2. Por lo tanto, nuestra recta secante va teniendo esta pinta:

y=2x+by = 2x + b

Para encontrar bb podemos usar uno de los puntos por los que pasa nuestra recta, por ejemplo, el (0,0)(0,0) (como hacíamos en la primera práctica, cuando vimos funciones lineales)

0=2⋅0+b0 = 2 \cdot 0 + b

b=0b = 0
Por lo tanto, la recta secante que estábamos buscando es... y=2x y = 2x

Te recomiendo que tengas abierto GeoGebra en la otra ventana y vayas graficando todo esto... Acá te dejo igual un print de pantalla de mi gráfico, con la serpentina de Newton (en verde), la recta que encontramos (en azul) y chequeamos que efectivamente corta a la curva en los puntos que nos decían. 


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